Geometria Espacial:Cilindro

                                            Cilindro

* Introdução aos cilindros :
O conceito de cilindro é muito importante. Nas cozinhas encontramos aplicações intensas do uso de cilindros. Nas construções, observamos caixas d'água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com formas cilíndricas.

Existem outras formas cilíndricas diferentes das comuns, como por exemplo o cilindro sinuzoidal obtido pela translação da função seno.
* Aplicações práticas: Os cilindros abaixo sugerem alguma aplicação importante em sua vida?

  

* A Construção de cilindros:
Seja P  um plano e nele vamos construir um círculo de raio r e tomemos também um segmento de reta AB que não seja paralelo ao plano P  e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no círculo.




Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R³, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro como a região sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um sólido usaremos aspas, isto é, "cilindro" e quando for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro.
A reta que contém o segmento AB é denominada geratriz e a curva que fica no plano do "chão" é a diretriz.
Em função da inclinação do segmento AB em relação ao plano do "chão", o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento AB for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz.

 

* Objetos geométricos em um "cilindro":

Em um cilindro, podemos identificar vários elementos:

Base: É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases.

Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".
Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro".
Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.
Superfície Total: É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro.
Área lateral: É a medida da superfície lateral do cilindro.
Área total: É a medida da superfície total do cilindro.
Seção meridiana de um cilindro: É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.

* Extensão do conceito de cilindro:
As características apresentadas antes para cilindros circulares, são também possíveis para outros tipos de curvas diretrizes, como: elipse, parábola, hipérbole, seno ou outra curva simples e suave num plano.
Mesmo que a diretriz não seja uma curva conhecida, ainda assim existem cilindros obtidos quando a curva diretriz é formada por uma reunião de curvas simples. Por exemplo, se a diretriz é uma curva retangular, temos uma situação patológica e o cilindro recebe o nome especial de prisma.
Em função da curva diretriz, o cilindro terá o nome de cilindro: elíptico, parabólico, hiperbólico, sinuzoidal (telha de eternit).



* Classificação dos cilindros circulares:
Cilindro circular oblíquo: Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases.
Cilindro circular reto: As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo.
Cilindro eqüilátero: É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado.

* Volume de um "cilindro" :

Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.

V= A(base) h

Se a base é um círculo de raio r, e pi=3,141593..., então:

V = pi r² h

* Área lateral e área total de um cilindro circular reto :

Em um cilindro circular reto, a área lateral é dada por A(lateral)=2pi.r.h, onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. A área total corresponde à soma da área lateral com o dobro da área da base.

A(total) = A(lateral) + 2 A(base) A(total) = 2 pi r h + 2 pi r² A(total) = 2 pi r(h+r)

Exemplo: Um cilindro circular equilátero é aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base, isto é h=2r. Neste caso, para calcular a área lateral, a área total e o volume, podemos usar as fórmulas, dadas por:

A(lateral) = 4 pi r² A(base) = pi r² A(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 6 pi r² Volume = A(base).h = pi r².2r = 2 pi r³

* Exercícios resolvidos :
1.Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume.

 A(base) = pi.r² = pi.2² = 4 pi cm²
A(lateral) = 2.pi.r.h = 2.pi.2.3 = 12 pi cm²
A(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 12pi + 8pi = 20 pi cm²
Volume = A(base).h = pi.r²h = pi.4.3 = 12 pi cm³

2.Achar a área total da superfície de um cilindro reto, sabendo que o raio da base é de 10cm e a
altura é de 20cm.


Solução:
A área de cada base é dada por Ab = πx r² ≈ 3,14 x 100 = 314cm² .
Quando planificamos a superfície lateral de um cilindro, obtemos
um retângulo no qual os lados têm a mesma altura h do cilindro e o
comprimento 2π da circunferência de uma das bases. Assim,
temos C = 2 x π x 10 ≈ 62,8cm. Desse modo, a área da superfície
lateral é Al ≈ 62,8 x 20 = 1.256cm².Assim, a área total da superfície
desse cilindro é At ≈ 314 + 314 + 1.256, o que resulta em
At ≈ 1.884cm²                                                                                  

3.A altura de um cilindro reto vale 6cm e o raio da base mede 2cm. Determine a área total e o volume do cilindro

Solução. Utilizando as fórmulas, temos:

i)  .At= 2 π.R(R+h) = 2 π (2).(2+6)=2 π(2).(8)=32 πcm²
ii)  .V= π R². h = π (2)² . (6)= 24 πcm³

4. (FATEC) Sabe-se que um cilindro de revolução de raio igual a 10 cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo, a uma distância de 6 cm desse eixo, apresenta uma secção retangular equivalente à base. O volume desse cilindro, em centímetros cúbicos, é:

a) 1250π      b)1250π²      c)6,25π²      d) 625π    e)625π²

Solução. A figura mostra a secção (azul) a 6cm do eixo. Ela é um retângulo de dimensões (2x) e h. O valor de “x” pode ser calculado pela relação de Pitágoras:

                                            

10² = 6² + x²  ---- > x =  √100 - 36  =  √64 = 8 cm

Logo (2x) = 16cm

Como a secção é equivalente à base, suas áreas são iguais:

{Abase =πR² = π (10)² =100 π

{Asecção = (2x) . h = 16. h

      

                                              ( 100 π )     10000 π ²

V= π R² . h = π (10)² .-------- =--------------  = 625 π² cm ³

                                              (   16    )          16

 

5. (FGV) Em certa loja, as panelas são anunciadas de acordo com sua capacidade. Uma panela dessa loja, com a etiqueta "4 litros", tem 20cm de diâmetro. A altura dessa panela é aproximadamente:

a) 7cm                              b) 9cm                        c) 11cm                            d) 13cm                                   e) 15cm.

Solução. O volume 4 litros corresponde em 4dm3 ou 4000cm3. O raio da panela mede 10cm. Aplicando a fórmula do volume do cilindro, temos:

(V cilindro = π R² . h                                                                                 4000                 40     ~

(V cilindro = 400       --- > ( 3,14 ) . (10) ² . h = 4000 -- > h = -------------- = -----   =  12,73 cm 

                                                                                                                       ( 3,14) . (100)    3,14