Geometria Espacial:ESFERA

                                         ESFERA

Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.

* Volume :
   O volume da esfera de raio R  é dado por:

* Partes da esfera:

Superfície esférica :

A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R.Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.

A área da superfície esférica é dada por:

* Zona esférica:

É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

A área da zona esférica é dada por:

* Calota esférica :

 É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

Ä área da calota esférica é dada por:

* Fuso esférico :

O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo  em torno de seu eixo:

A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:

* Cunha esférica :

Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo   :

O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três simples:

A esfera é obtida através da revolução da semicircunferência sobre um eixo. Podemos considerar que a esfera é um sólido.

Alguns conceitos básicos estão relacionados à esfera, se considerarmos a superfície esférica destacamos os seguintes elementos básicos: 

Ø Pólos 

Ø Equador 

Ø Paralelo 

Ø Meridiano

Área de uma superfície esférica 

Temos que a área de uma superfície esférica de raio r é igual a:

Volume da esfera 

Por ser considerada um sólido geométrico, a esfera possui volume representado pela seguinte equação:

Posição relativa entre plano e esfera 

Plano secante à esfera :

O plano intersecciona a esfera formando duas partes, se o plano corta a esfera passando pelo centro temos duas partes de tamanhos iguais. 

Plano tangente à esfera :

O plano tangencia a esfera em apenas um ponto, formando um ângulo de 90º graus com o eixo de simetria.

Plano externo à esfera :

O plano e a esfera não possuem pontos em comum.

esfera possui inúmeras aplicações, como exemplo podemos citar a Óptica (Física), a seção de uma esfera forma uma lente esférica, que são objetos importantes na construção de óculos. Corpos esféricos possuem grande importância na Engenharia Mecânica, a parte interior de inúmeras peças capazes de realizar movimentos circulares sobre eixos é constituída de esferas de aço. Um bom exemplo dessas peças é o rolamento.

* Exercícios resolvidos :

1. (FFT) Considere a Terra como uma esfera de raio 6.370km. Qual é sua área superficial? Descobrir a área da superfície coberta de água, sabendo que ela corresponde a aproximadamente 3/4 da superfície total.

 

Solução:

At = 4PI x r2 = 4 x 3,14 x 40.576.900. Portanto, At = 509.650.000km2. A superfície coberta por águas é dada por Aa = 3/4 x 509.650.000. Logo, Aa = 382.224km2.

2. – UFPB/93 – Sendo o volume de uma esfera de raio R numericamente igual a 33 vezes a sua área, calcular o valor de R, em unidades de comprimento. 

Solução:

Sabemos que para uma esfera de raio R, são válidas as seguintes fórmulas para o cálculo do volume V e da área S: 

V = (4/3).p .R3 e S = 4.p .R2 

O problema exige que V = 33.S ; substituindo, vem: 

(4/3).p .R3 = 33.4.p .R2 Þ (4/3).R3 = 132.R2 Þ (4/3).R = 132 Þ R = 132/(4/3) = 132.(3/4) = 396/4 = 99 

Resposta: 99 u.c.

3.Uma fábrica de bombons deseja produzir 20 000 unidades no formato de uma esfera de raio 1 cm. Determine o volume de cada bombom e a quantidade de chocolate necessária para produzir esse número de bombons. 

A quantidade de chocolate necessária para a produção das 20 000 unidades é de: 

4,18 * 20 000 = 83 600 cm³ 

Sabemos que 1cm³ = 1 ml, então 83 600 cm³ corresponde a 83 600 ml de chocolate ou 83,6 quilos. 

A fábrica irá gastar 83,6 quilos de chocolate, e o volume de cada bombom será de 4,18 cm³.