quinta-feira, 17 de novembro de 2011

Geometria Espacial:ESFERA

                                         ESFERA

Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.



* Volume :
   O volume da esfera de raio R  é dado por:



* Partes da esfera:
Superfície esférica :
A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R.Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.

A área da superfície esférica é dada por:
* Zona esférica:
É a parte da esfera gerada do seguinte modo:
A área da zona esférica é dada por:
* Calota esférica :
 É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

Ä área da calota esférica é dada por:
* Fuso esférico :
O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo  em torno de seu eixo:
A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:
* Cunha esférica :
Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo   :
O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três simples:

A esfera é obtida através da revolução da semicircunferência sobre um eixo. Podemos considerar que a esfera é um sólido.









Alguns conceitos básicos estão relacionados à esfera, se considerarmos a superfície esférica destacamos os seguintes elementos básicos: 
Ø Pólos 
Ø Equador 
Ø Paralelo 
Ø Meridiano

Área de uma superfície esférica 
Temos que a área de uma superfície esférica de raio r é igual a:
Volume da esfera 
Por ser considerada um sólido geométrico, a esfera possui volume representado pela seguinte equação:





Posição relativa entre plano e esfera 
Plano secante à esfera :
O plano intersecciona a esfera formando duas partes, se o plano corta a esfera passando pelo centro temos duas partes de tamanhos iguais. 








Plano tangente à esfera :
O plano tangencia a esfera em apenas um ponto, formando um ângulo de 90º graus com o eixo de simetria.







Plano externo à esfera :
O plano e a esfera não possuem pontos em comum.
esfera possui inúmeras aplicações, como exemplo podemos citar a Óptica (Física), a seção de uma esfera forma uma lente esférica, que são objetos importantes na construção de óculos. Corpos esféricos possuem grande importância na Engenharia Mecânica, a parte interior de inúmeras peças capazes de realizar movimentos circulares sobre eixos é constituída de esferas de aço. Um bom exemplo dessas peças é o rolamento.

* Exercícios resolvidos :
1. (FFT) Considere a Terra como uma esfera de raio 6.370km. Qual é sua área superficial? Descobrir a área da superfície coberta de água, sabendo que ela corresponde a aproximadamente 3/4 da superfície total.
 
Solução:
At = 4PI x r2 = 4 x 3,14 x 40.576.900. Portanto, At = 509.650.000km2. A superfície coberta por águas é dada por Aa = 3/4 x 509.650.000. Logo, Aa = 382.224km2.

2. – UFPB/93 – Sendo o volume de uma esfera de raio R numericamente igual a 33 vezes a sua área, calcular o valor de R, em unidades de comprimento. 

Solução:
Sabemos que para uma esfera de raio R, são válidas as seguintes fórmulas para o cálculo do volume V e da área S: 
V = (4/3).p .R3 e S = 4.p .R2 
O problema exige que V = 33.S ; substituindo, vem: 
(4/3).p .R3 = 33.4.p .R2 Þ (4/3).R3 = 132.R2 Þ (4/3).R = 132 Þ R = 132/(4/3) = 132.(3/4) = 396/4 = 99 
Resposta: 99 u.c.
3.Uma fábrica de bombons deseja produzir 20 000 unidades no formato de uma esfera de raio 1 cm. Determine o volume de cada bombom e a quantidade de chocolate necessária para produzir esse número de bombons. 

A quantidade de chocolate necessária para a produção das 20 000 unidades é de: 

4,18 * 20 000 = 83 600 cm³ 

Sabemos que 1cm³ = 1 ml, então 83 600 cm³ corresponde a 83 600 ml de chocolate ou 83,6 quilos. 

A fábrica irá gastar 83,6 quilos de chocolate, e o volume de cada bombom será de 4,18 cm³.







2 comentários:

  1. Na 1° questão esta errada a parte que da a resposta da A = 509.650.000 km² a resposta daria 509.645.864 Km².

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  2. Mais a resposta final dá a mesma que Legal :D

    S = 382.234.398 km²

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