tag:blogger.com,1999:blog-30518260332891483882024-03-05T03:44:21.588-08:00Geometria EspacialTurma: 1005 !http://www.blogger.com/profile/12966376220366645194noreply@blogger.comBlogger5125tag:blogger.com,1999:blog-3051826033289148388.post-89276338735009988412011-11-19T05:01:00.000-08:002011-11-19T14:28:50.088-08:00FOTO DO GRUPO :<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQEeLQg2PqS0bjRgusLlnCVyFED1sCCtqCXqWNoPkY5TtgaOiz-63ElNN7E-GzavhLxFTl6TKKGSr5-QBJl6Ol2chyphenhyphenkQU_Lza5t7ESwSc72184mFI6_XLWfT70z3dadZ7bORuKPDldBZtN/s1600/coxinha.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQEeLQg2PqS0bjRgusLlnCVyFED1sCCtqCXqWNoPkY5TtgaOiz-63ElNN7E-GzavhLxFTl6TKKGSr5-QBJl6Ol2chyphenhyphenkQU_Lza5t7ESwSc72184mFI6_XLWfT70z3dadZ7bORuKPDldBZtN/s640/coxinha.jpg" width="640" /></a></div><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-size: large; font-weight: bold;">Nomes :</span><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"> Debora Cristina , Camyla da Penha,Marina Moreno</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'lucida grande', tahoma, verdana, arial, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-size: 20px; line-height: 25px;"> e </span><span class="Apple-style-span" style="line-height: 25px;"><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">Andressa Rodrigues .</span></span></span></b><br />
<b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">Turma : 1005 .</span></b>Turma: 1005 !http://www.blogger.com/profile/12966376220366645194noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3051826033289148388.post-48419652015751948652011-11-19T04:33:00.000-08:002011-11-19T04:33:46.753-08:00Geometria Espacial:Cilindro <span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace; font-size: x-large;"><b>Cilindro</b></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: large;"><b>* Introdução aos cilindros :</b></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">O conceito de cilindro é muito importante. Nas cozinhas encontramos aplicações intensas do uso de cilindros. Nas construções, observamos caixas d'água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com formas cilíndricas.</span><br />
<img alt="" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cilindro/cilindro01.png" /><br />
Existem outras formas cilíndricas diferentes das comuns, como por exemplo o cilindro sinuzoidal obtido pela translação da função seno.<br />
<b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">* Aplic</span></b><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">ações práticas:</span></b> Os cilindros abaixo sugerem alguma aplicação importante em sua vida?<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><br />
<br />
<img alt="" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cilindro/cilindro02.png" style="background-color: white; font-family: Arial, Helvetica; font-size: 19px; text-align: center;" /><span class="Apple-style-span" style="background-color: white; font-family: Arial, Helvetica; font-size: 19px;"> </span><img alt="" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cilindro/cilindro03.png" style="background-color: white; font-family: Arial, Helvetica; font-size: 19px; text-align: center;" /><span class="Apple-style-span" style="background-color: white; font-family: Arial, Helvetica; font-size: 19px; text-align: center;"> </span><img alt="" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cilindro/cilindro04.png" style="background-color: white; font-family: Arial, Helvetica; font-size: 19px; text-align: center;" /><br />
<br />
<b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">* A Construção de cilindros:</span></b><br />
<a href="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cilindro/cilindro05.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" border="0" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cilindro/cilindro05.png" /></a>Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r e tomemos também um segmento de reta AB que não seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no círculo.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R³, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro como a região sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um sólido usaremos aspas, isto é, "cilindro" e quando for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro.<br />
A reta que contém o segmento AB é denominada geratriz e a curva que fica no plano do "chão" é a diretriz.<br />
Em função da inclinação do segmento AB em relação ao plano do "chão", o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento AB for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz.<br />
<br />
<img alt="" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cilindro/cilindro06.png" style="background-color: white; font-family: Arial, Helvetica; font-size: 19px; text-align: center;" /><span class="Apple-style-span" style="background-color: white; font-family: Arial, Helvetica; font-size: 19px;"> </span><img alt="" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cilindro/cilindro07.png" style="background-color: white; font-family: Arial, Helvetica; font-size: 19px; text-align: center;" /><br />
<br />
<b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">* Objetos geométricos em um "cilindro":</span></b><br />
<br />
<div style="font-weight: bold;">Em um cilindro, podemos identificar vários elementos:</div><div style="font-size: x-large; font-weight: bold;"><b style="font-size: medium;">Base:</b><b> </b><span class="Apple-style-span" style="font-size: small; font-weight: normal;">É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases.</span></div><b>Eixo:</b> É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".<br />
<b>Altura: </b>A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro".<br />
<b>Superfície Lateral:</b> É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.<br />
<b>Superfície Total:</b> É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro.<br />
<b>Área lateral:</b> É a medida da superfície lateral do cilindro.<br />
<b>Área total:</b> É a medida da superfície total do cilindro.<br />
<b>Seção meridiana de um cilindro:</b> É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.<br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"><b>* Extensão do conceito de cilindro:</b></span><br />
As características apresentadas antes para cilindros circulares, são também possíveis para outros tipos de curvas diretrizes, como: elipse, parábola, hipérbole, seno ou outra curva simples e suave num plano.<br />
Mesmo que a diretriz não seja uma curva conhecida, ainda assim existem cilindros obtidos quando a curva diretriz é formada por uma reunião de curvas simples. Por exemplo, se a diretriz é uma curva retangular, temos uma situação patológica e o cilindro recebe o nome especial de prisma.<br />
Em função da curva diretriz, o cilindro terá o nome de cilindro: elíptico, parabólico, hiperbólico, sinuzoidal (telha de eternit).<br />
<img alt="" height="134" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cilindro/cilindro08.png" width="200" /><br />
<br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"><b>* Classificação dos cilindros circulares:</b></span><br />
<b>Cilindro circular oblíquo:</b> Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases.<br />
<b>Cilindro circular reto:</b> As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo.<br />
<b>Cilindro eqüilátero:</b> É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado.<br />
<br />
<br />
<div><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"><b>* Volume de um "cilindro" :</b></span></div><div><div>Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.</div><div>V= A(base) h</div><div>Se a base é um círculo de raio r, e pi=3,141593..., então:</div><div>V = pi r² h</div><div><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">* Área lateral e área total de um cilindro circular reto :</span></b></div><div>Em um cilindro circular reto, a área lateral é dada por A(lateral)=2pi.r.h, onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. A área total corresponde à soma da área lateral com o dobro da área da base.</div></div><div><br />
</div><div><table align="center" bgcolor="white" border="1" bordercolor="#000099" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background-color: aliceblue; color: black;" summary="tab"><tbody>
<tr><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">A(total) = A(lateral) + 2 A(base)<br />
A(total) = 2 pi r h + 2 pi r²<br />
A(total) = 2 pi r(h+r)</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;"><img alt="" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cilindro/cilindro09.png" /></th></tr>
</tbody></table></div><div><span class="Apple-style-span" style="background-color: white;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><br />
</span></span></div><div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><b>Exemplo: </b>Um cilindro circular equilátero é aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base, isto é h=2r. Neste caso, para calcular a área lateral, a área total e o volume, podemos usar as fórmulas, dadas por:</span></div><div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><br />
</span></div><div><table align="center" bgcolor="white" border="1" bordercolor="#000099" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background-color: aliceblue; color: black;" summary="tab"><tbody>
<tr><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">A(lateral) = 4 pi r²<br />
A(base) = pi r²<br />
A(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 6 pi r²<br />
Volume = A(base).h = pi r².2r = 2 pi r³</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;"><img alt="" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cilindro/cilindro10.png" /></th></tr>
</tbody></table></div><br />
<b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"><br />
</span></b><br />
<b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">* Exercícios resolvidos :</span></b><br />
<b style="font-size: x-large;">1.</b>Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume.<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"> A(base) = pi.r² = pi.2² = 4 pi cm²</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">A(lateral) = 2.pi.r.h = 2.pi.2.3 = 12 pi cm²</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">A(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 12pi + 8pi = 20 pi cm²</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">Volume = A(base).h = pi.r²h = pi.4.3 = 12 pi cm³</span><br />
<br />
<div><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">2.</span></b>Achar a área total da superfície de um cilindro reto, sabendo que o raio da base é de 10cm e a<br />
<a href="http://matematicabru3033.pbworks.com/f/1276551992/Sem%20t%C3%ADtulo.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" height="165" id="il_fi" src="http://matematicabru3033.pbworks.com/f/1276551992/Sem%20t%C3%ADtulo.jpg" style="padding-bottom: 8px; padding-right: 8px; padding-top: 8px;" width="200" /></a>altura é de 20cm.<br />
<br />
<br />
Solução:<br />
A área de cada base é dada por Ab = πx r² ≈ 3,14 x 100 = 314cm² .<br />
Quando planificamos a superfície lateral de um cilindro, obtemos<br />
um retângulo no qual os lados têm a mesma altura h do cilindro e o<br />
comprimento 2π da circunferência de uma das bases. Assim,<br />
temos C = 2 x π x 10 ≈ 62,8cm. Desse modo, a área da superfície<br />
lateral é Al ≈ 62,8 x 20 = 1.256cm².Assim, a área total da superfície<br />
desse cilindro é At ≈ 314 + 314 + 1.256, o que resulta em<br />
At ≈ 1.884cm² <br />
<br />
<b style="font-size: x-large;">3.</b>A altura de um cilindro reto vale 6cm e o raio da base mede 2cm. Determine a área total e o volume do cilindro<br />
<br />
Solução. Utilizando as fórmulas, temos:<br />
<br />
i) .At= 2 π.R(R+h) = 2 π (2).(2+6)=2 π(2).(8)=32 πcm²<br />
ii) .V= π R². h = π (2)² . (6)= 24 πcm³<br />
<div><br />
</div><div><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">4.</span></b> (FATEC) Sabe-se que um cilindro de revolução de raio igual a 10 cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo, a uma distância de 6 cm desse eixo, apresenta uma secção retangular equivalente à base. O volume desse cilindro, em centímetros cúbicos, é:</div><div>a) 1250π b)1250π² c)6,25π² d) 625π e)625π²</div><div>Solução. A figura mostra a secção (azul) a 6cm do eixo. Ela é um retângulo de dimensões (2x) e h. O valor de “x” pode ser calculado pela relação de Pitágoras:</div><div> </div><div>10² = 6² + x² ---- > x = √100 - 36 = √64 = 8 cm</div><div><div>Logo (2x) = 16cm</div><div>Como a secção é equivalente à base, suas áreas são iguais:</div></div><div><div>{Abase =πR² = π (10)² =100 π</div><div>{Asecção = (2x) . h = 16. h</div><div> </div><div> ( 100 π ) 10000 π ²</div><div>V= π R² . h = π (10)² .-------- =-------------- = 625 π² cm ³</div><div> ( 16 ) 16</div></div><div> </div><div><b style="font-size: x-large;">5.</b> (FGV) Em certa loja, as panelas são anunciadas de acordo com sua capacidade. Uma panela dessa loja, com a etiqueta "4 litros", tem 20cm de diâmetro. A altura dessa panela é aproximadamente:</div><div>a) 7cm b) 9cm c) 11cm d) 13cm e) 15cm.</div><div>Solução. O volume 4 litros corresponde em 4dm3 ou 4000cm3. O raio da panela mede 10cm. Aplicando a fórmula do volume do cilindro, temos:</div><div><div>(V cilindro = π R² . h 4000 40 ~</div><div>(V cilindro = 400 --- > ( 3,14 ) . (10) ² . h = 4000 -- > h = -------------- = ----- = 12,73 cm </div><div> ( 3,14) . (100) 3,14</div></div><div><br />
</div><br />
<div> </div><br />
</div>Turma: 1005 !http://www.blogger.com/profile/12966376220366645194noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-3051826033289148388.post-24677305229228915412011-11-17T12:00:00.000-08:002011-11-19T05:14:28.519-08:00Geometria Espacial:ESFERA <span class="Apple-style-span" style="font-size: x-large;"> <span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"><b>ESFERA</b></span></span><br />
<span class="Apple-style-span"></span><br />
<span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.</span></span><br />
<span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
</span></span><br />
<div style="font-weight: bold;"><span class="Apple-style-span"><img border="0" height="186" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/Image214.gif" width="338" /></span></div><br />
<span class="Apple-style-span"><b style="font-size: x-large;">* Volume :</b></span><br />
<span class="Apple-style-span"> O volume da esfera de raio R é dado por<b>:</b></span><br />
<div style="font-weight: bold;"><span class="Apple-style-span"><a href="http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/Image217.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="40" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/Image217.gif" width="74" /></a></span></div><div style="font-weight: bold;"><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div style="font-weight: bold;"><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><div><span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"><b><br />
</b></span></span></div><div><span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"><b>* Partes da esfera:</b></span></span></div><div><span class="Apple-style-span"><b>Superfície esférica :</b></span></div><div><span class="Apple-style-span">A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R.Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div style="font-weight: bold;"><span class="Apple-style-span"><img border="0" height="169" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/Image216.gif" width="417" /></span></div></div><div><span class="Apple-style-span">A área da superfície esférica é dada por:</span></div><div><span class="Apple-style-span"><img border="0" height="25" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/Image215.gif" width="72" /></span></div><div><div><span class="Apple-style-span"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">* Zona esférica:</span></b></span></div><div><span class="Apple-style-span">É a parte da esfera gerada do seguinte modo:</span></div></div><div><span class="Apple-style-span"><img border="0" height="204" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/Image218.gif" width="386" /></span></div><div><div><span class="Apple-style-span">A área da zona esférica é dada por:</span></div></div><div><span class="Apple-style-span"><img border="0" height="18" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/Image219.gif" width="64" /></span></div><div><div><span class="Apple-style-span"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">* Calota esférica :</span></b></span></div><div><span class="Apple-style-span"> É a parte da esfera gerada do seguinte modo:</span></div><div><span class="Apple-style-span"><img border="0" height="170" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/Image220.gif" width="302" /></span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span">Ä área da calota esférica é dada por:</span></div></div><div><span class="Apple-style-span"><img border="0" height="18" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/Image219.gif" width="64" /></span></div><div><div><span class="Apple-style-span"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">* Fuso esférico :</span></b></span></div><div><span class="Apple-style-span">O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo <img border="0" height="21" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/Image221.gif" width="93" /> em torno de seu eixo:</span></div><div><span class="Apple-style-span"><img border="0" height="234" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/Image222.gif" width="215" /></span></div><div><span class="Apple-style-span">A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:</span></div></div><div><span class="Apple-style-span"><img border="0" height="136" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/Image223.gif" width="367" /></span></div><div><div><span class="Apple-style-span"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">* Cunha esférica :</span></b></span></div><div><span class="Apple-style-span">Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo <img border="0" height="21" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/Image221.gif" width="93" /> :</span></div><div><span class="Apple-style-span"><img border="0" height="202" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/Image224.gif" width="234" /></span></div><div><span class="Apple-style-span">O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três simples:</span></div></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span"><img border="0" height="155" src="http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/Image227.gif" width="400" /></span></div><div><span class="Apple-style-span">A esfera é obtida através da revolução da semicircunferência sobre um eixo. Podemos considerar que a esfera é um sólido.</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="Apple-style-span"><a href="http://www.brasilescola.com/upload/e/Untitled-3(28).jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" border="0" height="132" src="http://www.brasilescola.com/upload/e/Untitled-3(28).jpg" width="205" /></a></span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
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</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span">Alguns conceitos básicos estão relacionados à esfera, se considerarmos a superfície esférica destacamos os seguintes elementos básicos: </span></div><div><div><span class="Apple-style-span">Ø Pólos </span></div><div><span class="Apple-style-span">Ø Equador </span></div><div><span class="Apple-style-span">Ø Paralelo </span></div><div><span class="Apple-style-span">Ø Meridiano</span></div><div><span class="Apple-style-span"><a href="http://www.brasilescola.com/upload/e/Untitled-4(26).jpg" imageanchor="1" style="clear: left; display: inline !important; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" border="0" height="200" src="http://www.brasilescola.com/upload/e/Untitled-4(26).jpg" width="250" /></a></span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><div><span class="Apple-style-span"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">Área de uma superfície esférica </span></b></span></div><div><span class="Apple-style-span">Temos que a área de uma superfície esférica de raio r é igual a:</span></div></div><div><span class="Apple-style-span"><img alt="" height="39" src="http://www.brasilescola.com/upload/e/Untitled-5(19).jpg" width="157" /></span></div><div><div><span class="Apple-style-span"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">Volume da esfera </span></b></span></div><div><span class="Apple-style-span">Por ser considerada um sólido geométrico, a esfera possui volume representado pela seguinte equação:</span></div></div><div><span class="Apple-style-span"><a href="http://www.brasilescola.com/upload/e/Untitled-6(21).jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" border="0" height="75" src="http://www.brasilescola.com/upload/e/Untitled-6(21).jpg" width="159" /></a></span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"><br />
</span></b></span></div><div><div><span class="Apple-style-span"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"><br />
</span></b></span></div><div><span class="Apple-style-span"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">Posição relativa entre plano e esfera</span></b> </span></div><div><span class="Apple-style-span"><b>Plano secante à esfera</b> :</span></div><div><span class="Apple-style-span">O plano intersecciona a esfera formando duas partes, se o plano corta a esfera passando pelo centro temos duas partes de tamanhos iguais. </span></div></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="Apple-style-span"><a href="http://www.brasilescola.com/upload/e/Untitled-8(15).jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" border="0" height="114" src="http://www.brasilescola.com/upload/e/Untitled-8(15).jpg" width="190" /></a></span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><div><span class="Apple-style-span"><b><br />
</b></span></div><div><span class="Apple-style-span"><b>Plano tangente à esfera :</b></span></div><div><span class="Apple-style-span">O plano tangencia a esfera em apenas um ponto, formando um ângulo de 90º graus com o eixo de simetria.</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="Apple-style-span"><a href="http://www.brasilescola.com/upload/e/Untitled-9(13).jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" border="0" height="114" src="http://www.brasilescola.com/upload/e/Untitled-9(13).jpg" width="190" /></a></span></div><div></div></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><div><span class="Apple-style-span"><b><br />
</b></span></div><div><span class="Apple-style-span"><b>Plano externo à esfera</b> :</span></div><div><span class="Apple-style-span">O plano e a esfera não possuem pontos em comum.</span></div></div><div><span class="Apple-style-span"><img alt="" height="114" src="http://www.brasilescola.com/upload/e/Untitled-10(12).jpg" width="190" /></span></div><div><span class="Apple-style-span">esfera possui inúmeras aplicações, como exemplo podemos citar a Óptica (Física), a seção de uma esfera forma uma lente esférica, que são objetos importantes na construção de óculos. Corpos esféricos possuem grande importância na Engenharia Mecânica, a parte interior de inúmeras peças capazes de realizar movimentos circulares sobre eixos é constituída de esferas de aço. Um bom exemplo dessas peças é o rolamento.</span></div><div><span class="Apple-style-span"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"><br />
</span></b></span></div><div><span class="Apple-style-span"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">* Exercícios resolvidos :</span></b></span></div><div><div><span class="Apple-style-span"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">1.</span></b> (FFT) Considere a Terra como uma esfera de raio 6.370km. Qual é sua área superficial? Descobrir a área da superfície coberta de água, sabendo que ela corresponde a aproximadamente 3/4 da superfície total.</span></div><div><span class="Apple-style-span"><img height="200" id="il_fi" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCw3fdRdi728tfEjCHY9mXICsbXyCE8hqktWGzdAGN1sPqYQAeKdEOpWqHmtjyuXlv3lcn7Kx0Jxpn7bzy0JOTh5gq4SOwzLIkBkW-7qfLRUcMoju9yE9PgSwzA82cGwuX1bEjRMq8sobr/s200/planeta+terra5.gif" style="padding-bottom: 8px; padding-right: 8px; padding-top: 8px;" width="197" /> </span></div><div><span class="Apple-style-span"><b>Solução:</b></span></div><div><span class="Apple-style-span">At = 4PI x r2 = 4 x 3,14 x 40.576.900. Portanto, At = 509.650.000km2. A superfície coberta por águas é dada por Aa = 3/4 x 509.650.000. Logo, Aa = 382.224km2.</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">2.</span> </b>– UFPB/93 – Sendo o volume de uma esfera de raio R numericamente igual a 33 vezes a sua área, calcular o valor de R, em unidades de comprimento. </span></div><div><span class="Apple-style-span"><b><br />
</b></span></div><div><span class="Apple-style-span"><b>Solução:</b></span></div><div><span class="Apple-style-span">Sabemos que para uma esfera de raio R, são válidas as seguintes fórmulas para o cálculo do volume V e da área S: </span></div><div><span class="Apple-style-span">V = (4/3).p .R3 e S = 4.p .R2 </span></div><div><span class="Apple-style-span">O problema exige que V = 33.S ; substituindo, vem: </span></div><div><span class="Apple-style-span">(4/3).p .R3 = 33.4.p .R2 Þ (4/3).R3 = 132.R2 Þ (4/3).R = 132 Þ R = 132/(4/3) = 132.(3/4) = 396/4 = 99 </span></div><div><span class="Apple-style-span">Resposta: 99 u.c.</span></div><div></div><div><span class="Apple-style-span"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">3</span></b>.Uma fábrica de bombons deseja produzir 20 000 unidades no formato de uma esfera de raio 1 cm. Determine o volume de cada bombom e a quantidade de chocolate necessária para produzir esse número de bombons. </span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span">A quantidade de chocolate necessária para a produção das 20 000 unidades é de: </span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span">4,18 * 20 000 = 83 600 cm³ </span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span">Sabemos que 1cm³ = 1 ml, então 83 600 cm³ corresponde a 83 600 ml de chocolate ou 83,6 quilos. </span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span">A fábrica irá gastar 83,6 quilos de chocolate, e o volume de cada bombom será de 4,18 cm³.</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><div><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div><div style="font-size: x-large; font-weight: bold;"><span class="Apple-style-span"><br />
</span></div></div><br />
<div style="font-weight: bold;"></div>Turma: 1005 !http://www.blogger.com/profile/12966376220366645194noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-3051826033289148388.post-85377791503819186002011-11-17T11:03:00.000-08:002011-11-19T05:12:17.014-08:00Geometria Espacial:Cones <span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"> </span><span class="Apple-style-span" style="font-size: x-large;">Cones</span></b></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace; font-size: large;"><b><br />
</b></span><br />
<br />
<div style="font-weight: bold;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: large;">*O conceito de cone :</span></div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano.</span><br />
<div style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"><img alt="" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone21.png" /></div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto P (vértice) e a outra num ponto qualquer da região.</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"><b>*</b></span><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">Elementos do cone</span></b> :</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Em um cone, podem</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> ser identificados vários elementos:</span><br />
<img alt="" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone22.png" /><br />
<br />
1.Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.<br />
2.Base de um cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.<br />
3.Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.<br />
4.Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.<br />
5.Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.<br />
6.Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.<br />
7.Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.<br />
8.Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.<br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"><b>* Classificação do cone :</b></span><br />
Ao observar a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.<br />
<br />
<br />
<div style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"><img alt="" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone23.png" /></div><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"><b>Observação</b>: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace; font-size: large;"><b>*Observações sobre um cone circular reto:</b></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Um cone circular reto é denominado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de </span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">seus catetos</span><br />
<img alt="" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone24.png" /><br />
A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. Na figura ao lado, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida da geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos uma relação notável no cone: g²=h²+r², que pode ser "vista" na figura abaixo:<br />
<img alt="" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone25.png" /><br />
A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):<br />
<b>A(lateral) = pi.r.g</b><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><b>A(total) = pi.r.g + pi.r² = = pi.r.(g+r)</b></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: large;"><b>* Cones Equiláteros :</b></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.</span><br />
<div><br />
</div><img alt="" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone26.png" /><br />
<br />
A área da base do cone é dada por:<br />
<b>A(base) = pi r²</b><br />
Pelo Teorema de Pitágoras temos que (2r)²=h²+r², logo h²=4r²-r²=3r², assim:<br />
<b>h = r</b> <img align="middle" alt="" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone32.gif" style="background-color: white; font-family: Arial, Helvetica; text-align: center;" /><br />
Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:<br />
<b>V=(1/3) pi √3 r³</b><br />
Como a área lateral pode ser obtida por:<br />
<b>A(lateral) = pi.r.g = pi.r.2r = 2.pi.r²</b><br />
então a área total será dada por:<br />
<b>A(total) = 3 pi r²</b><br />
<br />
<b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">* Exercícios resolvidos :</span></b><br />
<span class="Apple-style-span">Notação: Usaremos a notação R[3] para representar a raiz quadrada de 3.</span><br />
<span class="Apple-style-span"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">1</span>.</b></span>A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um ângulo de 60 graus com o plano da base. Determinar a área lateral, área total e o volume do cone.<br />
Como sen(60o)=h/20, então:<br />
(1/2) R[3] = h/20<br />
h = 10 R[3] cm <br />
Como V = (1/3)×(A(base).h, então:<br />
V = (1/3) pi.r²h<br />
V = (1/3) pi.10².10 R[3]<br />
V = (1/3) 1000.R[3].pi cm³<br />
<br />
<a href="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone27.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img align="right" alt="" border="0" hspace="5" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone27.png" /></a><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<a href="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone28.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img align="right" alt="" border="0" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone28.png" /></a><br />
Se r=10cm; g=20cm e A(lateral)=pi.r.g, escreveremos:<br />
<br />
A(lataral) = pi.r.g = pi.10.20 = 200.pi cm²<br />
A(total) = A(lateral) + A(base)<br />
= pi.r.g + pi.r² = pi.r.(r+g)<br />
= pi.10.(10+20) = 300 pi cm²<br />
<br />
<br />
<br />
<a href="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone32.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><br />
</a><br />
<span class="Apple-style-span" style="background-color: white; font-family: Arial, Helvetica;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">2</span>.</b> A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2cm e um dos ângulos mede 60 graus. Girando-se o triângulo em torno do cateto menor, obtem-se um cone. Qual é o seu volume? Como sen(60º)=r/2, segue que:</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">R[3]/2 = r/2</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><img align="right" alt="" border="1" height="90" hspace="5" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone29.png" width="200" />r = R[3] cm</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">Substituindo os valores de g e de r, na relação g²=h²+r², obtemos</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">h = 1cm</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">V = (1/3).A(base).h = (1/3) pi.r²h</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"> = (1/3).pi.3 = pi cm³</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">3</span>.</b>Os catetos de um triângulo retângulo medem b e c, e a sua área mede 2m². O cone obtido pela rotação do triângulo em torno do cateto b tem volume 16 pi m³. Obteremos a medida do cateto c. Como a área do triângulo mede 2m², segue que: (1/2)bc=2, o que garante que bc=4. Como a área da base é dada por A(base)=pi.r²=pi.c², temos que</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">V = 16 pi = (1/3) pi c² b</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><a href="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone30.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img align="right" alt="" border="0" height="93" hspace="5" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone30.png" width="200" /></a></span></div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">c = 12 m</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">4.</span></b>As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone.</span><br />
<b style="font-family: Arial, Helvetica;">Se </b><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">h(prisma) = 12</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">A(base do prisma) = A(base do cone) = A</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">V(prisma) = 2×V(cone)</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><b>assim:</b></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">A×h(prisma) = 2(A h)/3</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">A 12 = (2/3)A h</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">h = 18 cm</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">5.</span></b>Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio r e mesma altura h da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?</span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">V = V(cilindro) - V(cone)</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><a href="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone31.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img align="right" alt="" border="0" height="161" hspace="5" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone31.png" width="200" /></a></span></div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"> = A(base).h - (1/3) A(base).h</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"> = pi.r².h - (1/3).pi.r².h</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"> = (2/3) pi.r².h cm³</span>Turma: 1005 !http://www.blogger.com/profile/12966376220366645194noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3051826033289148388.post-80468846933333846722011-11-17T09:49:00.000-08:002011-11-19T05:12:55.026-08:00Geometria Espacial:Pirâmide<div style="text-align: -webkit-center;"><i><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"><b></b></span></i></div><div style="text-align: -webkit-auto;"><i><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"><b><i style="font-family: 'Times New Roman'; font-weight: normal; text-align: -webkit-center;"></i></b></span></i></div><div style="display: inline !important; text-align: -webkit-auto;"><i><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"><b><i style="font-family: 'Times New Roman'; font-weight: normal; text-align: -webkit-center;"><i><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"><b><span class="Apple-style-span"></span></b></span></i></i></b></span></i><br />
<div style="display: inline !important;"><i><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"><b><i style="font-family: 'Times New Roman'; font-weight: normal; text-align: -webkit-center;"><i><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"><b><span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span" style="font-size: small;"> </span><span class="Apple-style-span" style="font-size: x-large;">Pirâmide</span></span></b></span></i></i></b></span></i></div><i><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"><b><i style="font-family: 'Times New Roman'; font-weight: normal; text-align: -webkit-center;"><i style="font-size: x-large;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"> <span class="Apple-style-span" style="font-size: small;"> </span></span></b><span class="Apple-style-span" style="color: #000099; font-size: large; font-weight: bold;"> </span></span></i><b style="font-size: medium; font-style: normal;"><i><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Courier New', Courier, monospace;"> </span></span></i></b></i></b></span></i></div><br />
<br />
Utilizaremos R[z] para denotar a raiz quadrada de z>0.<br />
*<b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">O conceito de pirâmide</span></b>:<br />
Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V localizado fora desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide.<img alt="" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide01.png" /> Exemplo: As pirâmides do Egito, eram utilizadas para sepultar faraós, bem como as pirâmides no México e nos Andes, que serviam a finalidades de adoração aos seus deuses. As formas piramidais eram usadas por tribos indígenas e mais recentemente por escoteiros para construir barracas.<br />
<br />
* <b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">Elementos de uma pirâmide</span></b>:<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">Em uma pirâmide, podemos identificar vários elementos:</span><br />
<br />
<img alt="" height="200" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide02.png" width="166" /> <b>Base</b>: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide.<br />
<br />
<b>Vértice</b>: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.<br />
<br />
<b>Eixo</b>: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.<br />
<br />
<b>Altura</b>: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.<br />
<br />
<b>Faces laterais</b>: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices consecutivos da base.<br />
<br />
<b>Arestas Laterais</b>: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base.<br />
<br />
<b>Apótema</b>: É a altura de cada face lateral.<br />
<br />
<b>Superfície Lateral</b>: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.<br />
<br />
<b>Aresta da base</b>: É qualquer um dos lados do polígono da base.<br />
*<span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"> </span><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">Classificação das pirâmides pelo número de lados da base</span>:</b><br />
<br />
<table align="center" bgcolor="#ffffff" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background-color: aliceblue; color: black;" summary="t"><tbody>
<tr><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">triangular</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">quadrangular</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">pentagonal</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">hexagonal</th></tr>
<tr><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;"><img alt="" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide03.png" /></th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;"><img alt="" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide04.png" /></th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;"><img alt="" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide05.png" /></th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;"><img alt="" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide06.png" /></th></tr>
<tr><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">base:triângulo</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">base:quadrado</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">base:pentágono</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">base:hexágono</th></tr>
</tbody></table><br />
<br />
* <b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">Pirâmide Regular reta</span></b> :<br />
Pirâmide regular reta é aquela que tem uma base poligonal regular e a projeção ortogonal do vértice V sobre o plano da base coincide com o centro da base.<br />
<br />
<table align="center" bgcolor="#ffffff" border="1" cellpadding="1" cellspacing="0" style="background-color: aliceblue; color: black;" summary="t"><tbody>
<tr><th rowspan="6" style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;"><img alt="" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide07.png" /></th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">R</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">raio do circulo circunscrito</th></tr>
<tr><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">r</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">raio do círculo inscrito</th></tr>
<tr><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">l</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">aresta da base</th></tr>
<tr><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">ap</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">apótema de uma face lateral</th></tr>
<tr><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">h</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">altura da pirâmide</th></tr>
<tr><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">al</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">aresta lateral</th></tr>
<tr><th colspan="3" style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">As faces laterais são triângulos isósceles congruentes</th></tr>
</tbody></table><br />
*<span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"> </span><b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">Área Lateral de uma pirâmide</span>:</b><br />
Às vezes podemos construir fórmulas para obter as áreas das superfícies que envolvem um determinado sólido. Tal processo é conhecido como a planificação desse sólido. Isto pode ser realizado se tomarmos o sólido de forma que a sua superfície externa seja feita de papelão ou algum outro material.<br />
No caso da pirâmide, a idéia é tomar uma tesoura e cortar (o papelão d)a pirâmide exatamente sobre as arestas, depois reunimos as regiões obtidas num plano que pode ser o plano de uma mesa.<br />
<img alt="" height="200" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide08.png" width="178" /><br />
<br />
As regiões planas obtidas são congruentes às faces laterais e também à base da pirâmide.<br />
Se considerarmos uma pirâmide regular cuja base tem n lados e indicarmos por A(face) a área de uma face lateral da pirâmide, então a soma das áreas das faces laterais recebe o nome de área lateral da pirâmide e pode ser obtida por:<br />
<b>A(lateral) = n A(face)</b> <br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="background-color: white;"><span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"></span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><b>Exemplo</b>: Seja a pirâmide quadrangular regular que está planificada na figura acima, cuja aresta da base mede 6cm e cujo apótema mede 4cm.</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">Como A(lateral)=n.A(face) e como a pirâmide é quadrangular temos n=4 triângulos isósceles, a área da face lateral é igual à área de um dos triângulos, assim:</span><br />
<br />
<table bgcolor="white" border="1" bordercolor="#000099" cellpadding="1" cellspacing="0" style="background-color: aliceblue; color: black; font-family: 'Times New Roman';"><tbody>
<tr><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">A(face) = b h/2 = 6.4/2 = 12<br />
A(lateral) = 4.12 = 48 cm²</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;"><img alt="" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide09.png" /></th></tr>
</tbody></table><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><b>Exemplo</b>: A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 8 cm e a altura 10 cm. Calcular a área lateral.Tomaremos a aresta com a=8 cm e a altura com h=10 cm. Primeiro vamos calcular a medida do apótema da face lateral da pirâmide hexagonal. Calcularemos o raio r da base.Como a base é um hexágono regular temos que r=(a/2)R[3], assim r=8R[3]/2=4R[3] e pela relação de Pitágoras, segue que (ap)²=r²+h², logo:</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><span class="Apple-style-span" style="font-size: x-small;"><br />
</span></span><br />
<a href="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide10.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img align="right" alt="" border="0" hspace="5" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide10.png" /></a><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><span class="Apple-style-span" style="font-size: 19px;">(ap)²= (4R[3])²+10² = 48+100 = 148 = 4·37 = 2R[37]</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="background-color: white; font-family: Arial, Helvetica; font-size: 19px;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="background-color: white; font-family: Arial, Helvetica; font-size: 19px;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">*</span><b style="font-family: Arial, Helvetica;"><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">Área total de uma Pirâmide</span>:</b><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">A(total) = A(lateral) + A(base)</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">Exemplo: As faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular formam ângulos de 60 graus com a base e têm as arestas da base medindo 18 cm. Qual é a área total?</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">Já vimos que A(lateral)=n.A(face) e como cos(60º)=(lado/2)/a, então 1/2=9/a donde segue que a=18, assim:</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">A(face) = b.h/2 = (18.18)/2 = 162</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">A(lateral) = 4.162 = 648</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">A(base) = 18² = 324</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">Concluímos que:</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">A(total) = A(lateral) + A(base) = 648+324 = 970</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><b>Exemplo</b><span class="Apple-style-span" style="font-size: x-small;">: </span>Um grupo de escoteiros quer obter a área total de suas barracas, as quais têm forma piramidal quadrangular. Para isso, eles usam medidas escoteiras. Cada dois passos de um escoteiro mede 1 metro. A barraca tem 4 passos escoteiros de lado da base e 2 passos de apótema. Calcular a área da base, área lateral e a área total.</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><span class="Apple-style-span" style="font-size: x-small;"><br />
</span><img align="right" alt="" border="1" hspace="5" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide11.png" /></span><br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">A(base) = 2.2 = 4 m²</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">A(lateral) = 4.2.1 = 8 m³</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">Logo, a área total da barraca é:</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">A(total) = A(lateral) + A(base) = 8+4 = 12 m²</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;"><br />
</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">* </span><b style="font-family: Arial, Helvetica;"><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">Volume de uma Pirâmide</span></b><span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">:</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é:</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Helvetica;">Volume = (1/3) A(base) h</span><br />
<img align="right" alt="" border="1" hspace="5" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide12.png" /><br />
<br />
<br />
<b>Exemplo</b>: Juliana tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pirâmide regular com base quadrada. A curiosa Juliana quer saber o volume de perfume que o frasco contém. Para isso ela usou uma régua e tirou duas informações: a medida da aresta da base de 4cm e a medida da aresta lateral de 6cm.<br />
Como V(pirâmide)=A(base).h/3, devemos calcular a área da base e a medida da altura. Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, temos que A(base)=a²=4cm.4cm=16 cm².<br />
<br />
<br />
<br />
<a href="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide13.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img align="right" alt="" border="0" hspace="5" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide13.png" /></a>A altura h da pirâmide pode ser obtida como a medida de um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é dada pela altura L=6cm da aresta lateral e o outro cateto Q=2×R[2] que é a metade da medida da diagonal do quadrado. Dessa forma h²=L²-Q², se onde segue que h²=36-8=28 e assim temos que h=2R[7] e o volume será dado por V=(1/3).16.2R[7]=(32/3)R[7].<br />
<br />
*<span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"> <b>Seção Transversal de uma pirâmide</b></span>:<br />
<br />
Seção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um plano paralelo à base da mesma. A seção transversal tem a mesma forma que a base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. A razão entre uma aresta da seção transversal e uma aresta correspondente da base é dita razão de semelhança.<br />
Observações sobre seções transversais:<br />
Em uma pirâmide qualquer, a seção transversal e a base são regiões poligonais semelhantes. A razão entre a área da seção transversal e a área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança.<br />
Ao seccionar uma pirâmide por um plano paralelo à base, obtemos outra pirâmide menor (acima do plano) semelhante em todos os aspectos à pirâmide original.<br />
Se duas pirâmides têm a mesma altura e as áreas das bases são iguais, então as seções transversais localizadas à mesma distância do vértice têm áreas iguais.<br />
<br />
<table align="center" bgcolor="#ffffff" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="background-color: aliceblue; color: black;" summary="t"><tbody>
<tr><th rowspan="6" style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;"><img alt="" height="200" src="http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide14.png" width="177" /></th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">V(seção)</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">Volume da seção até o vértice<br />
(volume da pirâmide menor)</th></tr>
<tr><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">V(piram)</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">Volume da pirâmide (maior)</th></tr>
<tr><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">A(seção)</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">Área da seção transversal<br />
(base da pirâmide menor)</th></tr>
<tr><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">A(base)</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">Área da base da pirâmide (maior)</th></tr>
<tr><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">h</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">Distância do vértice à seção<br />
(altura da pirâmide menor)</th></tr>
<tr><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">H</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">Altura da pirâmide (maior)</th></tr>
</tbody></table><br />
<b>Assim:</b><br />
<table align="center" border="0" cellpadding="1" cellspacing="1" style="background-color: aliceblue; color: black;" summary="t"><tbody>
<tr><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">V(seção)<br />
<hr noshade="noshade" width="80" />V(base)</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;"> =</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">A(seção)<br />
<hr noshade="noshade" width="80" />A(piram)</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;"> · </th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">h<br />
<hr noshade="noshade" width="40" />H</th></tr>
</tbody></table><br />
<table align="center" border="0" cellpadding="0" cellspacing="1" style="background-color: aliceblue; color: black;" summary="t"><tbody>
<tr><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">A(seção)<br />
<hr noshade="noshade" width="80" />A(base)</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;"> =</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">h²<br />
<hr noshade="noshade" width="40" />H²</th></tr>
</tbody></table><b>Então:</b><br />
<br />
<table align="center" bgcolor="#ffffff" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background-color: aliceblue; color: black;" summary="tab"><tbody>
<tr><td><table align="center" border="0" cellpadding="1" cellspacing="1" summary="t"><tbody>
<tr><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">V(seção)<br />
<hr noshade="noshade" width="80" />V(base)</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;"> =</th><th style="font-family: Arial, Helvetica; font-size: 14.4pt;">h³<br />
<hr noshade="noshade" width="40" />H³</th></tr>
</tbody></table></td></tr>
</tbody></table><br />
<br />
<b>Exemplo</b>: Uma pirâmide tem a altura medindo 9cm e volume igual a 108cm³. Qual é o volume do tronco desta pirâmide, obtido pelo corte desta pirâmide por um plano paralelo à base da mesma, sabendo-se que a altura do tronco da pirâmide é 3cm?<br />
Como:<br />
V(pirMenor)/V(pirâmide) = h³/H³<br />
V(pirMenor)/108 = 6³/9³<br />
V(pirMenor) = 32<br />
então:<br />
V(tronco)=V(pirâmide)-V(pirMenor)= 108cm³-2cm³ = 76 cm³<br />
<b><br />
</b><br />
<span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"><b>Exercícios resolvidos</b> :</span><br />
<a 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imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="" border="0" class="rg_hi" data-height="215" data-width="224" height="191" id="rg_hi" 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style="height: 215px; width: 224px;" width="200" /></a><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"><b>1</b>.</span> A pirâmide de Quéops, conhecida como a Grande Pirâmide, tem cerca de 230m de aresta na base e<br />
altura aproximada de 147m. Qual é o seu volume?<br />
<br />
<b>Solução</b>:<br />
A base da pirâmide é um quadrado com lados de 230m.<br />
Logo, a área da base é dada por: Ab = 230 x 230 = 52.900m<br />
2.Como o volume é dado por V = 1/3 x Ab x h, temos: V = 1/3 x<br />
52.900 x 147. Portanto, V = 2.592.100m<br />
<br />
<br />
<span class="Apple-style-span" style="font-size: large;"><b>2</b>.</span>Um tronco da pirâmide possui como bases dois quadrados de lados medindo 16 e 24 centímetros, respectivamente. Sabendo que a altura do tronco é equivalente a 42 cm, determine seu volume.<br />
Área quadrado maior: 24 * 24 = 576 cm²<br />
Área quadrado menor: 16 * 16 = 256 cm²<br />
<br />
<span style="background-color: white; font-size: 13px; text-align: left;"><br />
</span><img alt="" height="195" src="http://www.mundoeducacao.com.br/upload/conteudo/Untitled-12%2819%29.jpg" width="295" /> <br />
<br />
<br />
<b><span class="Apple-style-span" style="font-size: large;">3</span></b>.Um reservatório possui as dimensões de um tronco da pirâmide com lado da base menor medindo 2 m e lado da base maior medindo 8 m. Considerando que a medida da altura corresponde a √8 m, calcule sua capacidade de armazenamento.<br />
Área quadrado maior: 8 * 8 = 64 m²<br />
Área quadrado menor: 2 * 2 = 4 m²<br />
<br />
<img alt="" height="333" src="http://www.mundoeducacao.com.br/upload/conteudo/Untitled-13%2819%29.jpg" width="207" /><br />
<br />
<div style="text-align: -webkit-auto;"><b><br />
</b></div>Turma: 1005 !http://www.blogger.com/profile/12966376220366645194noreply@blogger.com0